DOCTORAT DE L'UNIVERSITE DE TOULOUSE
Delivré par UPS
Ecole doctorale : EDSYS
Unité de recherche : LAAS-CNRS équipe MAC
Spécialité : Automatique
Titre : Commande basée-évènement pour quelques équations aux dérivées partielles (Event-based control for some partial differential equations)
de Mahuklo Florent KOUDOHODE Email: fkoudohode@laas.fr <mailto:fkoudohode@laas.fr>
Date: Jeudi, 26 octobre, 2023 - 13:30 Lieu : LAAS-CNRS - Salle de Conférences 7 avenue du Colonel Roche 31077 TOULOUSE Cedex 4 (Diffusion de la soutenance sur http://live.laas.fr/ <http://live.laas.fr/> OU par zoom https://us02web.zoom.us/j/9596045930?pwd=NUNQN3Q0TjZTR3RLYVFQemJMRGZYZz09 ID de réunion : 959 604 5930 Code secret : 31LAASconf)
Composition du jury :
DIRECTRICES DE THESE
- Lucie BAUDOUIN, Directrice de recherche, CNRS-LAAS
- Sophie TARBOURIECH, Directrice de recherche, CNRS-LAAS
RAPPORTEURS
- Julie VALEIN, Maîtresse de conférences, Université de Lorraine
- Romain POSTOYAN, Directeur de recherche, CNRS-CRAN
EXAMINATEURS
- Jean-Michel CORON, Professeur émérite, Sorbonne université
- Antoine GIRARD, Directeur de recherche, CNRS-L2S
- Frederic GOUAISBAUT, Maître de conférences, Université Toulouse III-Paul Sabatier
Résumé: Au cours des dernières décennies, les stratégies de commande événementielle ont attiré une attention considérable en raison de leur application à divers domaines tels que les systèmes de contrôle en réseau, les processus industriels, la robotique, les systèmes biologiques, la transmission de données et le traitement du signal, etc. En commande événementielle, le contrôle n'est mis à jour que si nécessaire, ce qui favorise une utilisation optimisée des ressources et une économie d'énergie. Tous ces aspects sont cruciaux pour minimiser les ressources de communication et de calcul. Cela a conduit à une riche littérature sur la commande événementielle, en particulier pour des systèmes modélisés par des équations différentielles ordinaires. Dans cette thèse, notre objectif est de contribuer à la commande basée-événement d'équations aux dérivées partielles (EDP), qui modélisent élégamment de nombreuses dynamiques physiques, biologiques o! u sociales et pour lesquelles il existe peu de modèles de lois d'échantillonage. À ce titre, nous nous concentrerons sur la construction de commande événementielle pour trois EDPs spécifiques : les équations des ondes, de Schrödinger et de réaction-diffusion.
Tout d’abord, nous montrons comment maintenir la stabilité exponentielle de l’équation des ondes soumise à un terme source d’amortissement distribué et variable dans le temps lorsqu’il est soumis à une loi d'échantillonage, induisant un amortissement constant sur chaque intervalle d’échantillonnage. Après avoir vérifié l'existence et la régularité suffisante des solutions du système en boucle fermée où la loi d'échantillonage impose les mises à jour, nous établissons une condition suffisante basée sur des inégalités matricielles pour assurer la stabilité exponentielle globale de l'état. La preuve s'appuie sur une fonctionnelle de Lyapunov adéquate. Un autre point important est la démonstration de l'absence du phénomène Zeno, correspondant à l'accumulation d'instants de mises à jour de la loi de commande. Ces résultats s’étendent également à une équation des ondes excitée.
Ensuite, nous proposons une loi d'échantillonage statique (dépendant de l'état) pour l'équation de Schrödinger linéaire soumise à un terme source d'amortissement localisé. Nous prouvons qu'avec cette loi le phénomène Zeno ne se produit pas et que la stabilité exponentielle globale est conservée grâce à des estimations d'énergie qui utilisent une inégalité d'observabilité bien connue. De plus, nous utilisons une approche similaire pour proposer une loi d'échantillonage dynamique afin d'enrichir la loi d'échantillonage statique.
Enfin, nous considérons une équation de réaction-diffusion en une dimension d'espace avec un retard en entrée et soumise à une loi d'échantillonage. Nous traitons le retard comme une équation de transport, transformant le problème en un système de contrôle en cascade EDP-EDP puis nous effectuons une émulation sur le contrôle construit par backstepping. Nous démontrons qu'entre deux instants d'échantillonage, il existe un temps minimum d'inter-exécution qui garantit le caractère bien-posé et la stabilité exponentielle du système en boucle fermée. Notre analyse de stabilité s'appuie sur la propriété de stabilité ISS pour les EDP et utilise des arguments de petit gain.
Mots-clés : Commande événementielle, stabilisation, observabilité, théorie de Lyapunov , méthode de backstepping, systèmes à retard, équation des ondes , équation de Schrödinger, équation de diffusion de réaction
